\begin{exo} Trouver toutes les fonctions $f(x,y)$ d\'efinies sur $
	\RR^2$ dont les d\'eriv\'ees
	partielles d'ordre 1 existent et  sont identiquement nulles.
	%-----------
	\begin{correction}

		$f=cst$
	\end{correction}
\end{exo}
%=============
%
\begin{exo} Trouver toutes les fonctions $f(x,y)$ d\'efinies sur
	$ \RR^2$ dont les d\'eriv\'ees
	partielles d'ordre 2 existent et  sont identiquement nulles.
	%-----------
	\begin{correction}

		$(f_x)_x=(f_x)_y=0 \Rightarrow f_x=A, f_y=B$, pour des
		constantes $A$ et $B$. $f=Ax+g(y) \Rightarrow f_y=g'(y)=B$ donc
		$g(y)=By+C$. Finalement $f$ est affine, $f(x,y)=Ax+By+C$.

	\end{correction}
\end{exo}
%=============
%
\begin{exo} Trouver toutes les fonctions $f(x,y)$ d\'efinies sur  $ \RR^2$ dont les d\'eriv\'ees
	partielles d'ordre 3 existent et telles que
	$$\frac{\partial^3f}{\partial x^2\partial y}=0$$
	%-----------
	\begin{correction}

		$\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial^2 f}{\partial
		x\partial y})=0$, donc $\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial
		y}=g(y)$. $\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial f}{\partial y}) = g(y)$
		donc $\frac{\partial f}{\partial y}=xg(y)+h(y)$.

		Finalement, on a $f=xg_1(y)+h_1(y)$ (pour $g_1$, $h_1$ d\'erivables
		trois fois).

	\end{correction}
\end{exo}
%=============
%
\begin{exo} Trouver toutes les fonctions $f(x,y)$ d\'efinies sur  $ \RR^2$ dont les d\'eriv\'ees
	partielles d'ordre 3 existent et telles que
	$$\frac{\partial^3f}{\partial x^2\partial
	y}=\frac{\partial^3f}{\partial x\partial y^2}=0$$
	%-----------
	\begin{correction}

		Si $f=xg_1(y)+h_1(y)$ comme ci-dessus, alors
		$\frac{\partial^3f}{\partial x\partial y^2}=g_1''(y)=0$, et on
		doit prendre $g_1(y)=ay+b$.

		La forme g\'en\'erale des fonctions cherch\'ees est donc
		$f=x(ay+b)+h_1(y)$.

	\end{correction}
\end{exo}
%=============
%
\begin{exo} R\'esoudre l'\'equation :
	$\ds{2 \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y}=0}$ \`a l'aide du changement de variables $(u,v)=(x+y,x+2y)$.
	%-----------
	\begin{correction}

		$g(u,v)=f(x,y)$\\
		$\ds{\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial g}{\partial u}+ \frac{\partial g}{\partial v}}$ et
		$\ds{\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial g}{\partial u}+ 2\frac{\partial g}{\partial v}}$.
		D'o\`u:$\ds{\frac{\partial g}{\partial u}=0}$ et $\ds{g(u,v)=\phi(v)}$.

	\end{correction}
\end{exo}
%=============
%
\begin{exo} R\'esoudre l'\'equation :
	$\ds{2 \frac{\partial f}{\partial x} +3 \frac{\partial f}{\partial y}=xy}$ \`a l'aide du changement de variables $(u,v)=(x,3x-2y)$.
	%-----------
	\begin{correction}

		$g(u,v)=f(x,y)$\\
		$\ds{\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial g}{\partial u}+ 3\frac{\partial g}{\partial v}}$ et
		$\ds{\frac{\partial f}{\partial y} =-2\frac{\partial g}{\partial v}}$.
		D'o\`u:$\ds{\frac{\partial g}{\partial u}=3 u^2/4- uv/4}$ et $\ds{g(u,v)=u^3/4-u^2v/8+\phi(v)}$.

	\end{correction}
\end{exo}
%=============
%
\begin{exo} R\'esoudre dans $\RR^\ast_+\times\RR$ :
	$\ds{x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y}-2f+2=0 }$ \`a l'aide du changement de variables $(u,v)=(xy,y/x)$.
	%-----------
	\begin{correction}

		$g(u,v)=f(x,y)$\\
		$\ds{\frac{\partial f}{\partial x} =y\frac{\partial g}{\partial u}-y/x^2 \frac{\partial g}{\partial v}}$ et
		$\ds{\frac{\partial f}{\partial y} =x\frac{\partial g}{\partial u}+1/x\frac{\partial g}{\partial v}}$.
		D'o\`u: $\ds{u\frac{\partial g}{\partial u}-g+1=0}$.
		R\'esolution d'une \'equa diff du premier ordre:  $g(u,v)=1+u \phi(v)$

	\end{correction}
\end{exo}
%=============
%
\begin{exo} R\'esoudre dans $\RR^2\setminus \{(0,0)\}$ :
	$\ds{
	x\frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = a\sqrt{x^2+y^2},
	}$
	avec $a\in \RR$.
	(op\'erer un changement de variables en coordonn\'ees polaires.)
	%-----------
	\begin{correction}

		$g(r,\theta)=f(x,y)$. L'EDP devient : $\ds{  \frac{\partial g}{\partial r}= a}$. D'o\`u $g(r,\theta) = ar+b(\theta)$
	\end{correction}
\end{exo}
%=============
%
\begin{exo} R\'esoudre l'\'equation
	$\ds{ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} -2\, \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} =0 }$ \`a l'aide du changement de variables $(u,v)=(x-y,x+y)$.
	%-----------
	\begin{correction}

		$x=(u+v)/2$, $y=(v-u)/2$. D'o\`u :
		$\ds{ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \; \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial
		f}{\partial v} \; \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{1}{2}\, \left( \frac{\partial f}{\partial u} + \frac{\partial
		f}{\partial v}   \right) }$. \\
		Idem pour $\ds{ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}}$, etc... D'o\`u :
		$\ds{ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} -2\, \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} =
		\frac{\partial^2 f}{\partial u^2} = 0
		}$. D'o\`u en int\'egrant $f(u,v) = u G(v) + H(v)$, $G$ et $H$ \'etant $C^2$.

	\end{correction}
\end{exo}
%=============
%
%
\begin{exo} R\'esoudre dans $\RR^\ast_+\times\RR$ :
	$\ds{ \quad x^2\, \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} -y^2\, \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} =0 }$ \`a l'aide du changement de variables $(u,v)=(y/x,xy)$.
	%-----------
	\begin{correction}

		$\ds{\hbox{du} = -\frac{y}{x^2} \, \hbox{dx} + \frac{1}{x}\, \hbox{dy}}$ et $\hbox{dv} = y \,
		\hbox{dx} + x\, \hbox{dy}$. D'o\`u : $\ds{ \frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{y}{x^2}\,  \frac{\partial g}{\partial u}
		+ y\, \frac{\partial g}{\partial v} }$. Etc. On arrive \`a :
		$\ds{ \quad x^2\, \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} -y^2\, \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 4y^2 \frac{\partial^2 g}{\partial u\partial v} -2y/x \, \frac{\partial g}{\partial u}}$. C'est \`a dire $4uv g_{uv} = 2u g_u$. D'o\`u par
		int\'egration $g(u,v) = \sqrt{v} \phi(u) + C(v)$.

	\end{correction}
\end{exo}
%=============
%
\begin{exo} R\'esoudre pour $ (x,y) \in \RR \times\RR_+, \quad y>|x| $ :
	$\ds{\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} -\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} =\frac{1}{\sqrt{y^2-x^2}} }$ \`a l'aide du changement de variables $(u,v)=(x+y,y-x)$.
	%-----------
	\begin{correction}

		$g(u,v)=f(x,y)$\\
		$\ds{\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} =\frac{\partial^2 g}{\partial u^2}-2\frac{\partial^2 g}{\partial u\partial v} +\frac{\partial^2 g}{\partial v^2}}$ et
		$\ds{\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} =\frac{\partial^2 g}{\partial u^2}+2\frac{\partial^2 g}{\partial u\partial v} +\frac{\partial^2 g}{\partial v^2}}$.
		D'o\`u: $\ds{\frac{\partial^2 g}{\partial u\partial v}=\frac{-1}{4 \sqrt{uv}}}$\\
		et $\ds{g(u,v)=-\sqrt{uv}+\Phi(v)+\psi(u)}$.

	\end{correction}
\end{exo}
%=============
%
\begin{exo}D\'eterminer une \'equation aux d\'eriv\'ees partielles v\'erifi\'ee par toute fonction de la forme $\ds{ f(x,y) = (x^2+y^2)\, \varphi(\frac{y}{x}) }$, o\`u $\varphi$ est une fonction d\'erivable sur \RR.
	%-----------
	\begin{correction}

		On calcule $f_x$ et $f_y$ et on remarque que $x f_x + y f_y = 2f$.
	\end{correction}
\end{exo}
%=============
%
\begin{exo} Trouver les fonctions $f(x,y)$ telles que $\ds{ x\,\frac{\partial f}{\partial x} + y\,\frac{\partial f}{\partial y} =  2f   }$ \`a l'aide du changement de variables $(u,v)=(x^2+y^2,y/x)$.
	%-----------
	\begin{correction}

		$g(u,v)=f(x,y)$. On arrive \`a : $\ds{ u\, \frac{\partial g}{\partial u}= g }$, d'o\`u $g(u,v)=uK(v)$. On retrouve la fonction de l'exo pr\'ec\'edent.

	\end{correction}
\end{exo}
%=============
%
%
\begin{exo}\label{taylor} Donner le d\'eveloppement de Taylor d'ordre 2 des fonctions
	suivantes :
	$$x^2y^2, \;\mbox{au point}\; (1,\;1),$$
	$$\sin(xy),\;\mbox{au point}\; (0,\;0),$$
	$$x^3y^2-2xy^4+y^5,\;\mbox{au point}\; (1,\;2).$$\\
	%-----------
	\begin{correction}

		(a) $x^2y^2 = [(x-1)+1]^2[(y-1)+1]^2$\\
		$= [(x-1)^2+2(x-1)+1][(y-1)^2+2(y-1)+1]$\\
		$= 1 + 2(x-1) + 2(y-1) + (x-1)^2 + 4(x-1)(y-1) + (y-1)^2 + o(||h||^2)$
		\\
		(b)
		$
		\sin (xy) = xy + o(|xy|^2) = xy + o(||(x,y)||^2)
		$
		\\
		(c) $ x^3y^2 - 2xy^4 + y^5 = 4 - 20 (x-1) + 20 (y-2) + 12
		(x-1)^2 - 52(x-1)(y-2) + 33 (y-2)^2 + \dots$

	\end{correction}
\end{exo}
%=============
%
\begin{exo} On consid\`ere la fonction $f$ de  $ \RR^2$ dans $\RR$
	d\'efinie par $$f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$$
	Ecrire la formule de Taylor \`a
	l'ordre 2 pour $f$ au point $a=(3,4).$
	Montrer que l'erreur commise en rempla\c{c}ant $f(3.1,\;4.02)$ par
	$5+\mbox{d}f_a(0.1,\;0.02)$ est $\leq 2.10^{-3}.$
	%-----------
	\begin{correction}

		$r=\sqrt{x^2+y^2}$, $\pder{f}{x}=x/r$, $\pder{f}{y}=y/r$,
		$\pder{^2f}{x^2} = (r-x\pder{f}{x})/r^2 = y^2/r^3$,
		$\pder{^2f}{y^2} = x^2/r^3$, $\pder{^2f}{x\partial y} = \pder{^2f}{y\partial x} = -xy/r^3$.

		En $(3,4)$, on a: $f=5$, $\pder{f}{x}=3/5$, $\pder{f}{y}=4/5$,
		$\pder{^2f}{x^2}=16/125$, $\pder{^2f}{y^2}=9/125$ et $\pder{^2f}{x
		\partial y}=-12/125$.
		$$
		f(3+h_1,4+h_2) = 5 + \frac{3}{5}h_1 + \frac{4}{5}h_2 +
		\frac{1}{2}\ \frac{16h_1^2 - 24 h_1h_2 + 9h_2}{125} +
		o(||h||^2)
		$$

		Ceci donne l'approximation $\sqrt{(3.1)^2+(4.02)^2}\approx
		5+\frac{6(0.1)}{10} + \frac{8(0.02)}{10} =5.076$, o\`u l'erreur
		est donn\'ee pour un certain $\theta\in]0,1[$ par
		$$
		\frac{(y+\theta h_2)^2h_1^2-2(x+\theta h_1)(y+\theta
		h_2)h_1h_2+(x+\theta h_1)^2h_2^2}{2\{ (x+\theta h_1)^2 + (y+\theta
		h_2)^2\}^{3/2}}$$
		$$
		=\frac{(y h_1 - x h_2)^2}{2\{ (x+\theta h_1)^2 + (y+\theta
		h_2)^2\}^{3/2}}\leq \frac{(yh_1 - x h_2)^2}{2r^3}\leq\frac{||h||^2}{2r}=0.00104
		$$

	\end{correction}
\end{exo}
%=============
%
\begin{exo} En s'inspirant de l'exercice~\ref{taylor}, donner une valeur
	approch\'ee de $\sqrt{(1.99)^2+(3.01)^2+(6.01)^2},$ ainsi que la
	pr\'ecision obtenue.
	%-----------
	\begin{correction}

		$\sqrt{(1.99)^2+(3.01)^2+(6.01)^2}\approx\sqrt{2^2+3^2+6^2}-\frac{2}{7}(0.01)+\frac{3}{7}(0.01)+\frac{6}{7}(0.01)
		= \sqrt{49} + 0.01 = 7.01$. Erreur donn\'ee par
		$$
		\frac{1}{2}\ \frac{(0.01)^2[ \sum_i(x_i+\theta h_i)^2 -
		\sum_{i<j}(x_i+\theta h_i)(x_j+\theta h_j) ]}{7^3}$$
		$$ \leq
		\frac{2(0.01)^2\sum(x_i+\theta h_i)^2}{7^3} \leq \frac{2(0.01)^2\cdot 50}{7^3} = \frac{0.01}{7^3}
		< 10^{-4}
		$$

	\end{correction}
\end{exo}
%=============

